金曜日

タイル問題：genericな最密充填は不規則で、化学ポテンシャルや温度の微小な摂動では大きなパタン変化が生じえない、という模型を構築したい。２次元では難しいが、３次元ではよく見えない。３次元を頑張ってみるか、やはり２次元であがくか、あっちにふれたりこっちにふれたりやっていた。２次元の場合、厳密に議論できることも増えてきて、問題の難しさが増してきた。茶碗谷が示唆してくれた最密充填のエントロピーをさらに下げる（密度はゼロまでいっているけれど、サイズ依存性の部分をかえる）路線は、うまくいけば最強なんだが、非常に苦しい。そういう模型が存在することは何となく間違いない気がするのだけれど、具体例を作れない。具体例を作るために、Kari's construction でのタイルパタンの厳密解を直接いじって..とかやっていたけれど、できない。数論がもうちょっと強かったらできる気もするけれど、あかん。。

結局、解ける模型をほんの少しいじった。そうするとバランスが悪くなって、有限化学ポテンシャル（有限温度）の影響を綺麗にひろえなくなるんでないか、、というかなり感覚的なえいやぁをした。絵でみるかぎり、有限個の穴でつくれる大きな励起はないような感じではある。これが本当になれば、転移があるはずだけれど、まぁ、まだ確かではない。最終的には、理論的にあと一歩追い込まないとな。。（解ける模型の近所なので何とかアクセスできるかもしれない。ずっと前から、統計力学でのKAM 理論みたいなことを作れないかなぁ〜と思っているわけで。。。）（転移がなくても転移が見えてしまう）数値実験もとりあえず走らせておく。そういうグラフの感じ方も少しづつ分かってきたような気もするから、例を積み上げるのは大事だからなぁ。