日曜日

今残っている6タイル模型は、綺麗な模型が解けてしまうのでそこからちょいとバランスを崩した模型である。理屈はなくて勘だった。「うーん、この辺りで青をいれた方がいいよなぁ」みたいな。12月3日に最初の模型ができて、あくる日になんかバランスの崩し方が汚く感じたので修正した。これが今まできている。

そうやって作ったので、タイルタイプを論理的に書くのも自明ではなかった。3色使っているので、プラスマイナス１と０で符号化するのがいいのはそうだろうけれど、色と数字の対応の自由度があって、また、縦と横の塗りわけの自由度もあるので、すぐにできるものでもない。基準は最密充填配置が簡単に書けることと、統計力学が簡単にかけることである。

週末毎にねっころがってあれこれ試していた。今日、やっとファイナルアンサーになった。なんと最密充填は、3状態ECAのもっとも簡単な「非線形発展」で書けた。（ちなみに、2色4タイルはGW模型と全く同じで2状態ECAのもっとも簡単な「線形発展」である。）もっとも簡単な非線形ルールの定義はないが、「これより簡単な非線形ルールがあったらもってこい！」といっても文句は言われない、という程度であるという意味である。さらに、その無限個の不規則最密充填を基底状態にするハミルトニアンは、たったの一項しかない。ただし、考えている励起は孔をあけたり、ミスマッチにエネルギーを与えたりするのでなく、タイル拘束をぼやかす感じになっている。その場合がハミルトニアンが一番簡単に書ける。

もし、基底状態が無限縮退していて、そこから無限個の秩序相がのびることがあるなら、そのプロトタイプを出すことが僕にとってのガラスの問題で、現在の6タイル模型がもし本当にそうなら、このハミルトニアンこそがその様子を示す最小模型と名乗ってもよいだろう。

で、この簡単な統計模型を解析すればいいんだが、どうしよう。高温展開...ええと、3状態あるので...、統計力学は依然として学生レベルなので手を動かしながらなれていこう。